定理4 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f と，g(1)=suc(b)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，f(b)=g(a)．（つまり f(b)=a+b，g(a)=b+a に対して和の交換律 a+b=b+a が成り立つ．） 証明 a, b に関する数学的帰納法． a=0 について，定理1,2 より成り立つ． a で成り立つと仮定する． b=0 なら定理 1,2 より成り立つ． f(b)=g(a) と仮定．f(suc(b))=suc(f(b))=suc(g(a))=f(suc(a)) より f(suc(b))=f(suc(a)) でも成り立つ．
定理3 0 は和の単位元である．（つまり a+0=0+a=a） 証明 定理1,2 より明らか．
定理2 g(1)=suc(0)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，g(a)=a． （つまり g(a) の略記 0+a に対して，0+a=a となるから 0 は和の左単位元である．） 証明 a に関する数学的帰納法． g(suc(x))=suc(g(x)) で x=0 を代入すると g(suc(0))=suc(g(0))，g(1)=suc(g(0))，suc(0)=suc(g(0))，公理4の対偶で 0=g(0)である． x=a のとき，g(a)=a とすると，g(suc(x))=suc(g(x)) で x=a とすると，g(suc(a))=suc(g(a))=suc(a) より x=suc(a) でも成り立つ． ゆえにすべての自然数 a で g(a)=a といえる．
定理1 f(0)=a （つまり f(0) の略記 a+0 に対して，a+0=a となるから 0 は和の右単位元である．） 証明 f(suc(x))=suc(f(x)) で x=0 を代入して f(suc(0))=suc(f(0))，suc(0)=1で左辺を置き換えて，f(1)=suc(f(0))． f(1)=suc(a) で左辺を置き換えると，suc(a)=suc(f(0))． 公理4の対偶をとって，a=f(0) がいえる．
定義 suc(0)=1, suc(1)=suc(suc(0))=2, suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3 などと略記する． 定義 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f を定義する． この関数は，これから示すが自然数の和の法則を満たし，f(b) は a に b を加えた和 a+b を表すことがわかるので，f(b)=a+b と略記できる．
証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない． 1+1=2 は自然数の範囲で示せばいいと思うので，ここではペアノの公理系を採用する． 公理1 自然数 0 （先頭元）が存在する． 公理2 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する． 公理3 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）． 公理4 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる． 公理5 0 がある性質を満たし，a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき，すべての自然数はその性質を満たす．（数学的帰納法）
「1 を足すことは 1 の次の数 2 を求めることだから成り立つ」 さらには 「1+1=2と決めた」 で十分なのだが，「証明を知りたい」という素人には，次のような「数学的記述」をして煙に巻く． やっていることは「1に1を足したら 1の次の数 2 に等しい」というだけ。
数学の悪魔という著書に、 【そもそも１+１の証明による】 【1】が【1】である証明から入る流れの 問題がありましたね。 (〃ˋ•ω-)ꝺ゛
これ、如月氏に差し上げた顔文字です。 _(:3 ⌒ﾞ)_ﾎﾟﾘﾎﾟﾘ… 他にもバリエーションは有ったはず。 (҂ˋ•∀⎼„)𘘘
【如月氏】×【酢】×【唐辛子】 ≒相対性理論？ (๑ﾟ؎ﾟ„)？
誰かシングルバトルで対戦お願いします 合言葉2525 2525です
ジガルデくださいゼクロムレックウザ上げます
フリーザーの巣穴登録に協力してくださる方、お願いします
どなたかポケモンの価値のレートを教えてくれる方いませんか？ 復帰勢で価値がわかりません。
直人です。元日にバイオレットをやります。よろしくお願いします。
ダイオウドウ★5 パスワード12121212 ご協力お願いします
キャラ名「ノア」の、男性キャラです 良ければどうぞです 0000 0006 V3RM TN
誰がこの子を使ってパーティ組んでみてください 特殊受けフリージオ 種族値 H80A50 B50 C95 D135 S105 技 フリーズドラ...
このサイト使えなさすぎ
そうだよね。
？
なかなかワイルドエリアより進めない。苦戦中
うんち
まじ同じWWWW
技マシンもしくは技思い出しの人に頼むといいかもしれません（なかったらごめんなさい）
わーおー
ペロリーム、フレフワン、チョボマキとカブルモの進化も欲しいです。
ありがとうございます
うんうん(｀・∀・´) 日付みろよ（#^ω^）
通信で遊んでないんじゃないの？www
僕もチョーほしかった
助けて
ソードであま～いりんごはどうすればゲットできますか?
ようきもしくは意地っ張りがいいと思います
持ってます‼️
レジロックを交換してできないのですが、どうしたらいいですか？
それはない んじゃ？
＋、－より÷、×の方を先にするって定義があるんだよ 算数の勉強しようねってことやろ
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定理4 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f と，g(1)=suc(b)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，f(b)=g(a)．（つまり f(b)=a+b，g(a)=b+a に対して和の交換律 a+b=b+a が成り立つ．）
証明 a, b に関する数学的帰納法．
a=0 について，定理1,2 より成り立つ．
a で成り立つと仮定する．
b=0 なら定理 1,2 より成り立つ．
f(b)=g(a) と仮定．f(suc(b))=suc(f(b))=suc(g(a))=f(suc(a)) より f(suc(b))=f(suc(a)) でも成り立つ．
定理3 0 は和の単位元である．（つまり a+0=0+a=a）
証明 定理1,2 より明らか．
定理2 g(1)=suc(0)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，g(a)=a．
（つまり g(a) の略記 0+a に対して，0+a=a となるから 0 は和の左単位元である．）
証明 a に関する数学的帰納法．
g(suc(x))=suc(g(x)) で x=0 を代入すると g(suc(0))=suc(g(0))，g(1)=suc(g(0))，suc(0)=suc(g(0))，公理4の対偶で 0=g(0)である．
x=a のとき，g(a)=a とすると，g(suc(x))=suc(g(x)) で x=a とすると，g(suc(a))=suc(g(a))=suc(a) より x=suc(a) でも成り立つ．
ゆえにすべての自然数 a で g(a)=a といえる．
定理1 f(0)=a （つまり f(0) の略記 a+0 に対して，a+0=a となるから 0 は和の右単位元である．）
証明 f(suc(x))=suc(f(x)) で x=0 を代入して f(suc(0))=suc(f(0))，suc(0)=1で左辺を置き換えて，f(1)=suc(f(0))．
f(1)=suc(a) で左辺を置き換えると，suc(a)=suc(f(0))．
公理4の対偶をとって，a=f(0) がいえる．
定義 suc(0)=1, suc(1)=suc(suc(0))=2, suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3 などと略記する．
定義 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f を定義する．
この関数は，これから示すが自然数の和の法則を満たし，f(b) は a に b を加えた和 a+b を表すことがわかるので，f(b)=a+b と略記できる．
証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない．
1+1=2 は自然数の範囲で示せばいいと思うので，ここではペアノの公理系を採用する．
公理1 自然数 0 （先頭元）が存在する．
公理2 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する．
公理3 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）．
公理4 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる．
公理5 0 がある性質を満たし，a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき，すべての自然数はその性質を満たす．（数学的帰納法）
「1 を足すことは 1 の次の数 2 を求めることだから成り立つ」
さらには
「1+1=2と決めた」
で十分なのだが，「証明を知りたい」という素人には，次のような「数学的記述」をして煙に巻く．
やっていることは「1に1を足したら 1の次の数 2 に等しい」というだけ。
数学の悪魔という著書に、
【そもそも１+１の証明による】
【1】が【1】である証明から入る流れの
問題がありましたね。
(〃ˋ•ω-)ꝺ゛
これ、如月氏に差し上げた顔文字です。
_(:3 ⌒ﾞ)_ﾎﾟﾘﾎﾟﾘ…
他にもバリエーションは有ったはず。
(҂ˋ•∀⎼„)𘘘
【如月氏】×【酢】×【唐辛子】
≒相対性理論？
(๑ﾟ؎ﾟ„)？